JENIS-JENIS FUNGSI
JENIS-JENIS FUNGSI
Fungsi dapat digolong-golongkan menjadi beberapa kelompok. Secara garis besar
fungsi dikelompokkan atas kelompok fungsi aljabar dan kelompok fungsi nonaljabar.
Rincian jenis-jenis fungsi selengkapnya dapat dilihat pada Skema 2 di
halaman berikut.
Skema 2. Pembagian Jenis Fungsi
Fungsi polinom ialah fungsi yang mengandung banyak suku (polinom) dalam
variabel bebasnya. Bentuk umum persamaan polinom adalah:
y = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn. Pangkat tertinggi pada variabel suatu fungsi polinom
mencerminkan derajat polinomnya, sekaligus juga mencerminkan
derajat persamaan atau fungsi tersebut.
Fungsi linear ialah fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dari variabelnya
adalah pangkat satu, oleh karenanya sering juga disebut fungsi berderajat satu.
Bentuk umum persamaan linear adalah: y = a0 + a1x; di mana a0 adalah konstanta
dan a1 ≠ 0. Fungsi-fungsi lain yang pangkat tertinggi dari variabelnya lebih dari
satu, secara umum disebut fungsi non-linear; ini meliputi fungsi kuadrat, fungsi
kubik, fungsi bikuadrat dan seterusnya.
Fungsi kuadrat ialah fungsi polinom yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah
pangkat dua, sering juga disebut fungsi berderajat dua. Bentuk umum persamaan
kuadrat adalah: y = a0 + a1x + a2x2 ; di mana a0 adalah konstanta, sedangkan a1 dan
a2 adalah koefisien, a2 ≠ 0.
Fungsi berderajat n ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah
pangkat n (n = bilangan nyata). Bentuk umumnya:
y = a0 + a1x + a2x2 + ... + an-1xn-1 + anxn; di mana a0 adalah konstanta, a1 hingga an
adalah koefisien, dan an ≠ 0.
Fungsi pangkat ialah fungsi yang variabel bebasnya berpangkat sebuah bilangan
nyata bukan nol. Bentuk umumnya : y = xn ; n = bilangan nyata bukan nol.
Fungsi eksponensial ialah fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat dari
suatu konstanta bukan nol. Bentuk umumnya: y = nx ; n > 0.
(Bandingkan pengertian atau bentuk fungsi eksponensial ini dengan pengertian
atau bentuk fungsi pangkat. Perhatikan letak-letak n dan x pada kedua jenis
3
fungsi tersebut).
Fungsi logaritmik ialah fungsi balik (inverse) dari fungsi eksponensial, variabel
bebasnya merupakan bilangan logaritmik. Bentuk umumnya : y = nlog x.
Fungsi trogonometrik dan fungsi hiperbolik ialah fungsi yang variabel bebasnya
merupakan bilangan-bilangan goneometrik.
Contoh persamaan trigonometrik: y = sin 5x
Contoh persamaan hiperbolik: y = arc cos 2x.
Selain pembagian jenis fungsi sebagaimana yang baru saja diuraikan di atas,
berdasarkan letak ruas variabel-variabelnya fungsi dibedakan menjadi dua jenis
yaitu fungsi eksplisit dan fungsi implisit. Fungsi eksplisit ialah fungsi yang variabel
bebas dan variabel terikatnya terletak di ruas yang berlainan. Sedangkan fungsi
implisit ialah fungsi yang variabel bebas dan variabel terikatnya terletak di satu
ruas yang sama, di ruas kiri semua atau di ruas kanan semua. Secara operasional,
bentuk umum persamaan fungsi yang eksplisit dan yang implisit dapat dilihat
sebagai berikut:
Setiap fungsi yang berbentuk eksplisit senantiasa dapat diimplisitkan, tetapi tidak
semua fungsi implisit dapat diubah menjadi bentuk eksplisit. Sebagai contoh,
persamaan implisit x2 – 5x + y2 – 3y = 0 adalah mustahil untuk dieksplisitkan.
C. PENGGAMBARAN FUNGSI LINEAR
Penggambaran fungsi linear adalah yang paling mudah dilakukan. Sesuai dengan
namanya, setiap fungsi linear akan menghasilkan sebuah garis lurus (boleh juga
disebut kurva linear) jika digambarkan.
Contoh:
4
Letak garis atau kurva dari sebuah fungsi linear tidak selalu di kuadran pertama,
pada x positif dan y positif. Melainkan mungkin pula di kuadran II, III atau IV.
D. PENGGAMBARAN FUNGSI NON-LINIER
Contoh penggambaran fungsi non-linear:
5
Kurva non-linier mempunyai sifat-sifat tertentu. Melalui sifat-sifat khas ini dapat
diantisipasi atau diketahui pola kurvanya. Sifat-sifat kurva non-linier yang dibahas
di sini meliputi penggal (titik potong), simetri, perpanjangan, asimtot dan
faktorisasi.
(1) Penggal
Penggal sebuah kurva adalah titik-titik potong kurva tersebut pada sumbusumbu
koordinat. Penggal pada sumbu x dapat dicari dengan memisalkan y = 0
dalam persamaan yang bersangkutan, sehingga nilai x dapat dihitung. Penggal
pada sumbu y dicari dengan memisalkan x = 0, sehingga nilai y dapat dihitung.
Contoh:
y = 16 - 8x + x2
Penggal pada sumbu x : y = 0 ⇒ x = 4
Penggal pada sumbu y : x = 0 ⇒ y = 16
(2) Simetri
Dua buah titik dikatakan simetrik terhadap sebuah garis apabila garis tersebut
berjarak sama terhadap kedua titik tadi dan tegak lurus terhadap segmen garis
yang menghubungkannya. Dua buah titik dikatakan simetrik terhadap titik
ketiga apabila titik ketiga ini terletak persis di tengah segmen garis yang
menghubungkan kedua titik tadi.
6
Secara ringkas dapat dirumuskan bahwa kurva dari suatu persamaan f(x, y) = 0
adalah simetrik terhadap:
sumbu x jika f(x, y) = f(x, −y) = 0
sumbu y jika f(x, y) = f(−x, y) = 0
titik pangkal jika f(x, y) = f(−x, −y) = 0
Contoh:
1) Kurva dari persamaan x2 + y3 − 5 = 0 adalah simetrik terhadap sumbu x,
sumbu y dan titik pangkal.
f(x, −y) = x2 + (−y)2 − 5 = x2 + y2 − 5 ; ternyata f(x, −y) ekivalen dengan f(x,
y) = 0, berarti f(x, y) simetrik terhadap sumbu x
f(−x, y) = (−x)2 + y2 − 5 = x2 + y2 − 5 ; ternyata f(−x, y) ekivalen dengan f(x,
y) = 0, berarti f(x, y) simetrik terhadap sumbu y
f(−x, −y) = (−x)2 + (−y)3 − 5 = x2 – y3 − 5 ; ternyata f(−x, −y) ekivalen dengan
f(x, y) = 0, berarti f(x, y) simetrik terhadap titik pangkal.
(3) Perpanjangan
Konsep perpanjangan dalam seksi ini akan menjelaskan apakah ujung-ujung
sebuah kurva dapat terus menerus diperpanjang sampai tak terhingga (tidak
terdapat batas perpanjangan), ataukah hanya dapat diperpanjang sampai nilai
x atau y tertentu (terdapat batas perpanjangan).
Contoh :
1) Selidiki apakah terdapat batas perpanjangan bagi kurva yang dicerminkan
oleh persamaan x2 − y2 − 25 = 0
Penyelesaian untuk x: x = ± 25+ y2
Berapapun nilai y, bilangan di bawah tanda akar akan selalu positif sehingga
x akan selalu berupa bilangan nyata. Berarti perpanjangan kurva searah
sumbu y tidak terbatas.
Penyelesaian untuk y: y = ± x2 − 25
Jika x < 5 atau x > -5, bilangan di bawah tanda akar akan negatif dan y akan
menjadi bilangan khayal atau maya (tidak nyata). Berarti perpanjangan
kurva searah sumbu x terbatas hanya sampai x = ± 5.
Jadi pada contoh ini, tidak terdapat batas perpanjangan bagi kurva untuk
variabel x (searah sumbu y), tetapi terdapat batas perpanjangan untuk
variabel y (searah sumbu x).
Fungsi dapat digolong-golongkan menjadi beberapa kelompok. Secara garis besar
fungsi dikelompokkan atas kelompok fungsi aljabar dan kelompok fungsi nonaljabar.
Rincian jenis-jenis fungsi selengkapnya dapat dilihat pada Skema 2 di
halaman berikut.
Skema 2. Pembagian Jenis Fungsi
Fungsi polinom ialah fungsi yang mengandung banyak suku (polinom) dalam
variabel bebasnya. Bentuk umum persamaan polinom adalah:
y = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn. Pangkat tertinggi pada variabel suatu fungsi polinom
mencerminkan derajat polinomnya, sekaligus juga mencerminkan
derajat persamaan atau fungsi tersebut.
Fungsi linear ialah fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dari variabelnya
adalah pangkat satu, oleh karenanya sering juga disebut fungsi berderajat satu.
Bentuk umum persamaan linear adalah: y = a0 + a1x; di mana a0 adalah konstanta
dan a1 ≠ 0. Fungsi-fungsi lain yang pangkat tertinggi dari variabelnya lebih dari
satu, secara umum disebut fungsi non-linear; ini meliputi fungsi kuadrat, fungsi
kubik, fungsi bikuadrat dan seterusnya.
Fungsi kuadrat ialah fungsi polinom yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah
pangkat dua, sering juga disebut fungsi berderajat dua. Bentuk umum persamaan
kuadrat adalah: y = a0 + a1x + a2x2 ; di mana a0 adalah konstanta, sedangkan a1 dan
a2 adalah koefisien, a2 ≠ 0.
Fungsi berderajat n ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah
pangkat n (n = bilangan nyata). Bentuk umumnya:
y = a0 + a1x + a2x2 + ... + an-1xn-1 + anxn; di mana a0 adalah konstanta, a1 hingga an
adalah koefisien, dan an ≠ 0.
Fungsi pangkat ialah fungsi yang variabel bebasnya berpangkat sebuah bilangan
nyata bukan nol. Bentuk umumnya : y = xn ; n = bilangan nyata bukan nol.
Fungsi eksponensial ialah fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat dari
suatu konstanta bukan nol. Bentuk umumnya: y = nx ; n > 0.
(Bandingkan pengertian atau bentuk fungsi eksponensial ini dengan pengertian
atau bentuk fungsi pangkat. Perhatikan letak-letak n dan x pada kedua jenis
3
fungsi tersebut).
Fungsi logaritmik ialah fungsi balik (inverse) dari fungsi eksponensial, variabel
bebasnya merupakan bilangan logaritmik. Bentuk umumnya : y = nlog x.
Fungsi trogonometrik dan fungsi hiperbolik ialah fungsi yang variabel bebasnya
merupakan bilangan-bilangan goneometrik.
Contoh persamaan trigonometrik: y = sin 5x
Contoh persamaan hiperbolik: y = arc cos 2x.
Selain pembagian jenis fungsi sebagaimana yang baru saja diuraikan di atas,
berdasarkan letak ruas variabel-variabelnya fungsi dibedakan menjadi dua jenis
yaitu fungsi eksplisit dan fungsi implisit. Fungsi eksplisit ialah fungsi yang variabel
bebas dan variabel terikatnya terletak di ruas yang berlainan. Sedangkan fungsi
implisit ialah fungsi yang variabel bebas dan variabel terikatnya terletak di satu
ruas yang sama, di ruas kiri semua atau di ruas kanan semua. Secara operasional,
bentuk umum persamaan fungsi yang eksplisit dan yang implisit dapat dilihat
sebagai berikut:
Setiap fungsi yang berbentuk eksplisit senantiasa dapat diimplisitkan, tetapi tidak
semua fungsi implisit dapat diubah menjadi bentuk eksplisit. Sebagai contoh,
persamaan implisit x2 – 5x + y2 – 3y = 0 adalah mustahil untuk dieksplisitkan.
C. PENGGAMBARAN FUNGSI LINEAR
Penggambaran fungsi linear adalah yang paling mudah dilakukan. Sesuai dengan
namanya, setiap fungsi linear akan menghasilkan sebuah garis lurus (boleh juga
disebut kurva linear) jika digambarkan.
Contoh:
4
Letak garis atau kurva dari sebuah fungsi linear tidak selalu di kuadran pertama,
pada x positif dan y positif. Melainkan mungkin pula di kuadran II, III atau IV.
D. PENGGAMBARAN FUNGSI NON-LINIER
Contoh penggambaran fungsi non-linear:
5
Kurva non-linier mempunyai sifat-sifat tertentu. Melalui sifat-sifat khas ini dapat
diantisipasi atau diketahui pola kurvanya. Sifat-sifat kurva non-linier yang dibahas
di sini meliputi penggal (titik potong), simetri, perpanjangan, asimtot dan
faktorisasi.
(1) Penggal
Penggal sebuah kurva adalah titik-titik potong kurva tersebut pada sumbusumbu
koordinat. Penggal pada sumbu x dapat dicari dengan memisalkan y = 0
dalam persamaan yang bersangkutan, sehingga nilai x dapat dihitung. Penggal
pada sumbu y dicari dengan memisalkan x = 0, sehingga nilai y dapat dihitung.
Contoh:
y = 16 - 8x + x2
Penggal pada sumbu x : y = 0 ⇒ x = 4
Penggal pada sumbu y : x = 0 ⇒ y = 16
(2) Simetri
Dua buah titik dikatakan simetrik terhadap sebuah garis apabila garis tersebut
berjarak sama terhadap kedua titik tadi dan tegak lurus terhadap segmen garis
yang menghubungkannya. Dua buah titik dikatakan simetrik terhadap titik
ketiga apabila titik ketiga ini terletak persis di tengah segmen garis yang
menghubungkan kedua titik tadi.
6
Secara ringkas dapat dirumuskan bahwa kurva dari suatu persamaan f(x, y) = 0
adalah simetrik terhadap:
sumbu x jika f(x, y) = f(x, −y) = 0
sumbu y jika f(x, y) = f(−x, y) = 0
titik pangkal jika f(x, y) = f(−x, −y) = 0
Contoh:
1) Kurva dari persamaan x2 + y3 − 5 = 0 adalah simetrik terhadap sumbu x,
sumbu y dan titik pangkal.
f(x, −y) = x2 + (−y)2 − 5 = x2 + y2 − 5 ; ternyata f(x, −y) ekivalen dengan f(x,
y) = 0, berarti f(x, y) simetrik terhadap sumbu x
f(−x, y) = (−x)2 + y2 − 5 = x2 + y2 − 5 ; ternyata f(−x, y) ekivalen dengan f(x,
y) = 0, berarti f(x, y) simetrik terhadap sumbu y
f(−x, −y) = (−x)2 + (−y)3 − 5 = x2 – y3 − 5 ; ternyata f(−x, −y) ekivalen dengan
f(x, y) = 0, berarti f(x, y) simetrik terhadap titik pangkal.
(3) Perpanjangan
Konsep perpanjangan dalam seksi ini akan menjelaskan apakah ujung-ujung
sebuah kurva dapat terus menerus diperpanjang sampai tak terhingga (tidak
terdapat batas perpanjangan), ataukah hanya dapat diperpanjang sampai nilai
x atau y tertentu (terdapat batas perpanjangan).
Contoh :
1) Selidiki apakah terdapat batas perpanjangan bagi kurva yang dicerminkan
oleh persamaan x2 − y2 − 25 = 0
Penyelesaian untuk x: x = ± 25+ y2
Berapapun nilai y, bilangan di bawah tanda akar akan selalu positif sehingga
x akan selalu berupa bilangan nyata. Berarti perpanjangan kurva searah
sumbu y tidak terbatas.
Penyelesaian untuk y: y = ± x2 − 25
Jika x < 5 atau x > -5, bilangan di bawah tanda akar akan negatif dan y akan
menjadi bilangan khayal atau maya (tidak nyata). Berarti perpanjangan
kurva searah sumbu x terbatas hanya sampai x = ± 5.
Jadi pada contoh ini, tidak terdapat batas perpanjangan bagi kurva untuk
variabel x (searah sumbu y), tetapi terdapat batas perpanjangan untuk
variabel y (searah sumbu x).
Comments
Post a Comment